2017年度合格へのこの一問 算数問題編⑤

算数問題編⑤ 積み木を考えよう その1

執筆・早稲田進学会(上田竜夫)

今回は、立方体の積み木の個数を考える問題です。

同じ大きさの立方体をいくつか積み上げて立体を作りました。

いちと君 「4つの立方体を使って、図1のように積み上げてみたよ。」
まちこさん 「見る方向によって、立体の見え方が変わってくるね。」
いちと君 「本当だ。図1のように立体の真上、(あ)、(い)の3つの方向からそれぞれ見ると、図1(1)、(2)、(3)のように、どれも正方形が並んでいるように見えるね。」
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いちと君 「積み上げる立方体の個数や積み上げ方を変えると、見え方もいろいろ変わりそうだね。」
まちこさん 「そうだね。私は2つの立体を作ったよ。それらの名前を立体Aと、立体Bとするわね。立体A立体Bの見え方を教えるから、積み上げた立方体の個数を当ててみて。ただし、立方体の個数は最も少なくなるように積み上げたわよ。」

問題1
まちこさんが積み上げた立体Aを真上から見ると図2(1)のように見え、図2(1)(あ)、(い)の方向から見ると、それぞれ図2(2)、図2(3)のように見えます。立体Aに使われている立方体の個数が最も少なくなるのはいくつですか。

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問題2
まちこさんが積み上げた立体Bを真上から見ると図3(1)のように見え、図3(1)(あ)、(い)の方向から見ると、それぞれ図3(2)、図3(3)のように見えます。立体Bに使われている立方体の個数が最も少なくなるのはいくつですか。また、まちこさんは○と△の印を、図3(2)、(3)のように1つずつ立方体にかき入れました。印のついた2つの立方体が、図3(1)のどこに位置するかを、2通り答えなさい。ただし、解答らんの記入例のように解答しなさい。
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積み木の見え方から立方体の個数を考えよう。


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問題1
20160915a_8図2(1)~(3)を、図2(1)の真上から見た図をもとに、それぞれの列がそろうように図Aのように整理して考えます。図2(2)(あ)の方向から見た図は向きを右に90°回転させて列をそろえ、それぞれア~エの記号をつけます。
図A図2(3)より、(い)の方向から見ると、イエの列は3個の立方体が見えるので、の少なくとも1つは3段になります。また、アウの列は2個の立方体が見えるので、は2段までとわかります。
次に、図A図2(2)より、(あ)の方向から見ると、アイの列とウエの列はどちらも3個の立方体が見えるので、は2段までであることと合わせて考えると、はどちらも3段になります。なお、(あ)の方向から見える立方体の個数を考えるときは、紙面を左に90°回転させて見ると、イメージがよくつかめますね。
さらに、の少なくともどちらか1つが2段であれば図A図2(3)のアウの列は2個の立方体が見えるので、立方体の個数が最も少なくなるという条件から考えると、はどちらか1つが2段、もう1つが1段とわかります。
立方体の積み上げ方は次の2通りが考えられ、どちらも立方体の個数は9個です。
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20160915a_10問題1と同じように、図3(1)~(3)を、図Bのように整理して考えます。
図B図3(3)より、(い)の方向から見ると、アエキの列は5個の立方体が見えるので、ア、エ、キの少なくとも1つは5段になります。また、図3(2)より、(あ)の方向から見ると、5個の立方体が見えるのはアイウの列だけなので、が5段とわかります。
次に、(い)の方向から見てイオクの列は4個の立方体が見えるので、イ、オ、クの少なくとも1つは4段になります。また、(あ)の方向から見て4個以上の立方体が見えるのは、アイウの列とエオカの列なので、のどちらも4段になる可能性がありますが、立方体の個数が最も少なくなるという条件から、が4段とわかります。なお、の両方が4段でも図Bのように見えますが、立方体の個数が最も少なくなるという条件から考えると、あてはまりませんね。
さらに、(い)の方向から見てウカケの列は2個の立方体が見えるので、ウ、カ、ケの少なくとも1つは2段になり、また、(あ)の方向から見てキクケの列は3個の立方体が見えるので、キ、クの少なくとも1つは3段になります。なお、(い)の方向から見て2段までなので、3段にはなりませんね。そして、立方体の個数が最も少なくなるという条件から考えると、ウ、カ、ケの1つだけ2段、キ、クの1つだけ3段でも図Bのように見えるので、積み上げ方は次の6通りが考えられます。この中から2つを選び、解答とします。また、○の印は3段の位置の立方体、△の印は2段の位置の立方体です。
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問題120160915a_12
9個

問題2
19個

【朝日小学生新聞2016年7月27日(水)掲載】