同じ図形で、しきつめられる?

みなさんはミツバチの巣を見たことがありますか? 正六角形をすき間なく並べた、とても丈夫な形として知られています(図1)。円や正五角形を並べると、すき間ができて、巣を固定することができません。ミツバチの知恵はすごいですね。

図形を平面にすき間なく並べることを「平面充てん」といいます。1種類だけで平面充てんできる図形にはどんな特徴があるのでしょうか。

まずは正多角形を考えてみましょう。正三角形や正方形、正六角形は平面充てんできます。では、正五角形はなぜ平面充てんできないのでしょう。その答えは頂点にあります。しきつめるには頂点がぴったりくっつく、つまり図形の内角を足し合わせて360度になる必要があります。

正三角形の内角は60度、正方形は90度、正六角形は120度なので、360度になります。正五角形の内角は108度なので360度になることはありません。他の正多角形も同様で、つまり360度を割り切れる内角を持つ正多角形はこの三つしかないのです。

実は正三角形でなくても同じ三角形を並べて平行四辺形を作れば、図2のように充てんができます。四角形の内角の和が360度になるからです。ですから、どのような三角形、四角形でも大丈夫です。

2015年には15種類目の平面充てんできる五角形が発見されました(図3)。空間に多面体をしきつめる空間充てんの研究も進んでいます。身近にもある充てんの世界。みなさんはいくつ見つけられますか?

【朝日小学生新聞2018年10月12日 掲載】