From灘 「循環小数のふしぎ」

循環小数のふしぎ

 5を3で割るとき、「1余り2」のように商と余りを答えることもありますが、商が小数でもよいなら
5÷3=1.666666……
と無限に続く小数になります。このような小数を無限小数といいます。
 同じように1を7で割ると、
1÷7=0.14285714285714……
と、無限小数になります。小数点以下の数字は1、4、2、8、5、7のくり返しです。なぜでしょうか。
 1÷7を筆算で計算しましょう。10を7で割った商が1。余りの3を10倍した30を7で割った商が4です。これをくり返すと、7で割られる数1、3、2、6、4、5を10倍して10、30、20、60、40、50となり、これらを7で割った商1、4、2、8、5、7だけが小数点以下の数字の並びに現れます。さらに、50を7で割った余りに1が現れ、その後は最初の計算がくり返されます。
 今度は3を7で割りましょう。
3÷7=0.4285714285714……
です。よく見ると、1÷7で現れた1、4、2、8、5、7の1が後ろに回り、4、2、8、5、7、1の並びがくり返されます。これには次のような背景があります。1÷7を10倍すると、無限小数0.142857……の小数点が一つ下がり
10÷7=1.4285714285714……
となります。右辺から1を引くと、3÷7の商になります。
 なぜこうなるのでしょう。このような循環小数と関係する問題が灘中の入試で出題されたことがあります。研究してみてください。

【朝日小学生新聞2017年4月2日 掲載】